14-01多元函数的极限与连续

在讨论多元函数“极限”、“连续”之前，先把多元函数定义了……

何为多元？

“一元函数”： $ f(x): R \to R $

“多元函数”： $ f(x): R^n \to R(n \in N^*)$

仍然是从一个元素到一个元素的映射（不接受反驳）。这个元素不再是一个数字，我们称它为“向量”。

“多元空间” 下的 “数”

线性空间

定义 $ R^n = R^{n-1} \times R = \lbrace x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace$

则我们定义这样的有序数组 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_1, x_2, \cdots, x_n) 为一个向量，或者我们称它点。

定义两个向量之间的加法为 (x1,⋯ ,xn)+(y1,⋯ ,yn)=(x1+y1,⋯ ,xn+yn)(x_1,\cdots, x_n) + (y_1,\cdots, y_n) = (x_1+y_1, \cdots, x_n+y_n)，

定义数乘为 k(x1,⋯ ,xn)=(kx1,⋯ ,kxn)k(x_1,\cdots, x_n) = (kx_1, \cdots, kx_n)，

于是我们有 RnR^n + 加法 + 数乘 = 线性空间

内积与欧氏空间

（欧氏空间，“欧”指欧拉欧几里得。Euclid）

定义两个向量的内积为 $ <(x_1, \cdots, x_n), (y_1, \cdots, _n)> = (x_1y_1, \cdots, x_ny_n)$

则 线性空间 + 内积 = 欧氏空间

内积有若干性质

  1. （正定性） $\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle \geq 0 $
  2. （对称性） $\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle = \langle\bm{b}, \bm{a}\rangle $
  3. （线性） $p\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle + q\langle\bm{c}, \bm{d}\rangle = \langle p\bm{a} + q \bm{c}, p \bm{b} + q \bm{d}\rangle $

然而内积还有一个性质……
（Cauchy Schwarz不等式）

⟨a,b⟩2≤⟨a,a⟩+⟨b,b⟩\langle \bm{a}, \bm{b} \rangle^2 \leq \langle \bm{a}, \bm{a} \rangle + \langle \bm{b}, \bm{b} \rangle

范数

这里，我们定义RnR^n 下的一个向量的范数为

∣∣a∣∣=⟨a,a⟩||\bm{a}|| = \sqrt{\langle \bm{a}, \bm{a} \rangle}

它表达了一个向量的大小（，是后面讨论多元函数性质的一个常用概念）。对于范数，显然有：

  1. （正定性）$ ||\bm{a}|| \geq 0 $
  2. （数乘性）$ ||k\bm{a}|| = k||\bm{a}|| $
  3. （三角不等式）$ ||\bm{x} + \bm{y}|| \leq ||\bm{x}|| + ||\bm{y}||$

参照线性代数，我们可以继续定义两向量的夹角和距离……

新 集 合

区间 -> 球

在 RR 上我们用区间，在 RnR^n 上我们用“球”。

定义以 a\bm{a} 为球心，以 rr 为半径的 开球：

Br(a)={x∈Rn∣∣∣x∣∣<r}B_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace

顺便，定义以 a\bm{a} 为球心，以 rr 为半径的 闭球：

B‾r(a)={x∈Rn∣∣∣x∣∣<r}\overline{B}_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace

集合的有界性

令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃M∈E,∀x∈E\exist M \in E, \forall \bm{x} \in E 则 ∣∣x∣∣<M||\bm{x}|| \lt M。

或者，令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃M∈E\exist M \in E 则 ∣∣x∣∣<M||\bm{x}|| \lt M。

或者，令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃r∈E\exist r \in E 则 x∈Br(0)\bm{x} \in B_r(0)。

（三条等价）

（人话：这一堆点在同一个开球里面）

集合的有界性

（不是有界就是无界）

点列

定义

点列是从数列搬过来的概念。（略）

同样，我们可以照搬点列收敛：

lim⁡k→+∞ak=b  ⟺  ∀ϵ∈R+,∃K∈N,st.,∀k>K,∣∣ak∣∣<ϵ\lim_{k \to +\infty} \bm{a_k} = \bm{b} \iff \forall \epsilon \in R^+, \exists K \in N, st., \forall k > K, ||\bm{a_k}|| < \epsilon

这个收敛叫按范数收敛，其等价于按分量收敛，也就是一个向量的各分量收敛。

基本列

未完待续