在讨论多元函数“极限”、“连续”之前，先把多元函数定义了……
“一元函数”： $ f(x): R \to R $
“多元函数”： $ f(x): R^n \to R(n \in N^*)$
仍然是从一个元素到一个元素的映射（不接受反驳）。这个元素不再是一个数字，我们称它为“向量”。
定义 $ R^n = R^{n-1} \times R = \lbrace x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace$
则我们定义这样的有序数组 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_1, x_2, \cdots, x_n) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) 向量 ，或者我们称它点 。
定义两个向量之间的加法为 ( x 1 , ⋯ , x n ) + ( y 1 , ⋯ , y n ) = ( x 1 + y 1 , ⋯ , x n + y n ) (x_1,\cdots, x_n) + (y_1,\cdots, y_n) = (x_1+y_1, \cdots, x_n+y_n) ( x 1 , ⋯ , x n ) + ( y 1 , ⋯ , y n ) = ( x 1 + y 1 , ⋯ , x n + y n )
定义数乘为 k ( x 1 , ⋯ , x n ) = ( k x 1 , ⋯ , k x n ) k(x_1,\cdots, x_n) = (kx_1, \cdots, kx_n) k ( x 1 , ⋯ , x n ) = ( k x 1 , ⋯ , k x n )
于是我们有 R n R^n R n 线性空间
（欧氏空间，“欧”指欧拉欧几里得。Euclid）
定义两个向量的内积 为 $ <(x_1, \cdots, x_n), (y_1, \cdots, _n)> = (x_1y_1, \cdots, x_ny_n)$
则 线性空间 + 内积 = 欧氏空间
内积有若干性质
（正定性） $\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle \geq 0 $
（对称性） $\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle = \langle\bm{b}, \bm{a}\rangle $
（线性） $p\langle\bm{a}, \bm{b}\rangle + q\langle\bm{c}, \bm{d}\rangle = \langle p\bm{a} + q \bm{c}, p \bm{b} + q \bm{d}\rangle $
然而内积还有一个性质……
⟨ a , b ⟩ 2 ≤ ⟨ a , a ⟩ + ⟨ b , b ⟩ \langle \bm{a}, \bm{b} \rangle^2 \leq \langle \bm{a}, \bm{a} \rangle + \langle \bm{b}, \bm{b} \rangle
⟨ a , b ⟩ 2 ≤ ⟨ a , a ⟩ + ⟨ b , b ⟩
这里，我们定义R n R^n R n
∣ ∣ a ∣ ∣ = ⟨ a , a ⟩ ||\bm{a}|| = \sqrt{\langle \bm{a}, \bm{a} \rangle}
∣ ∣ a ∣ ∣ = ⟨ a , a ⟩
它表达了一个向量的大小（，是后面讨论多元函数性质的一个常用概念）。对于范数，显然有：
（正定性）$ ||\bm{a}|| \geq 0 $
（数乘性）$ ||k\bm{a}|| = k||\bm{a}|| $
（三角不等式）$ ||\bm{x} + \bm{y}|| \leq ||\bm{x}|| + ||\bm{y}||$
参照线性代数，我们可以继续定义两向量的夹角和距离……
在 R R R R n R^n R n
定义以 a \bm{a} a r r r 开球 ：
B r ( a ) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < r } B_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace
B r ( a ) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < r }
顺便，定义以 a \bm{a} a r r r 闭球 ：
B ‾ r ( a ) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < r } \overline{B}_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace
B r ( a ) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < r }
令 E ⊂ R n E \subset R^n E ⊂ R n ∃ M ∈ E , ∀ x ∈ E \exist M \in E, \forall \bm{x} \in E ∃ M ∈ E , ∀ x ∈ E ∣ ∣ x ∣ ∣ < M ||\bm{x}|| \lt M ∣ ∣ x ∣ ∣ < M
或者，令 E ⊂ R n E \subset R^n E ⊂ R n ∃ M ∈ E \exist M \in E ∃ M ∈ E ∣ ∣ x ∣ ∣ < M ||\bm{x}|| \lt M ∣ ∣ x ∣ ∣ < M
或者，令 E ⊂ R n E \subset R^n E ⊂ R n ∃ r ∈ E \exist r \in E ∃ r ∈ E x ∈ B r ( 0 ) \bm{x} \in B_r(0) x ∈ B r ( 0 )
（三条等价）
（人话：这一堆点在同一个开球里面）
集合的有界性（不是有界就是无界）
点列是从数列搬过来的概念。（略）
同样，我们可以照搬点列收敛 ：
lim k → + ∞ a k = b ⟺ ∀ ϵ ∈ R + , ∃ K ∈ N , s t . , ∀ k > K , ∣ ∣ a k ∣ ∣ < ϵ \lim_{k \to +\infty} \bm{a_k} = \bm{b} \iff \forall \epsilon \in R^+, \exists K \in N, st., \forall k > K, ||\bm{a_k}|| < \epsilon
k → + ∞ lim a k = b ⟺ ∀ ϵ ∈ R + , ∃ K ∈ N , s t . , ∀ k > K , ∣ ∣ a k ∣ ∣ < ϵ
这个收敛叫按范数收敛 ，其等价于按分量收敛 ，也就是一个向量的各分量收敛。
未完待续