14-01多元函数的极限与连续

在讨论多元函数“极限”、“连续”之前，先把多元函数定义了……

何为多元？

“一元函数”： f(x):R→R

“多元函数”： f(x):Rn→R(n∈N∗)

仍然是从一个元素到一个元素的映射（不接受反驳）。这个元素不再是一个数字，我们称它为“向量”。

“多元空间” 下的 “数”

线性空间

定义 Rn=Rn−1×R={x1,x2,⋯,xn}

则我们定义这样的有序数组 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_1, x_2, \cdots, x_n) 为一个向量，或者我们称它点。

定义两个向量之间的加法为 (x1,⋯ ,xn)+(y1,⋯ ,yn)=(x1+y1,⋯ ,xn+yn)(x_1,\cdots, x_n) + (y_1,\cdots, y_n) = (x_1+y_1, \cdots, x_n+y_n)，

定义数乘为 k(x1,⋯ ,xn)=(kx1,⋯ ,kxn)k(x_1,\cdots, x_n) = (kx_1, \cdots, kx_n)，

于是我们有 RnR^n + 加法 + 数乘 = 线性空间

内积与欧氏空间

（欧氏空间，“欧”指欧拉欧几里得。Euclid）

定义两个向量的内积为 <(x1,⋯,xn),(y1,⋯,n)>=(x1y1,⋯,xnyn)

则 线性空间 + 内积 = 欧氏空间

内积有若干性质

  1. （正定性） ⟨\bma,\bmb⟩≥0
  2. （对称性） ⟨\bma,\bmb⟩=⟨\bmb,\bma⟩
  3. （线性） p⟨\bma,\bmb⟩+q⟨\bmc,\bmd⟩=⟨p\bma+q\bmc,p\bmb+q\bmd⟩

然而内积还有一个性质……
（Cauchy Schwarz不等式）

⟨a,b⟩2≤⟨a,a⟩+⟨b,b⟩\langle \bm{a}, \bm{b} \rangle^2 \leq \langle \bm{a}, \bm{a} \rangle + \langle \bm{b}, \bm{b} \rangle

范数

这里，我们定义RnR^n 下的一个向量的范数为

∣∣a∣∣=⟨a,a⟩||\bm{a}|| = \sqrt{\langle \bm{a}, \bm{a} \rangle}

它表达了一个向量的大小（，是后面讨论多元函数性质的一个常用概念）。对于范数，显然有：

  1. （正定性）||\bma||≥0
  2. （数乘性）||k\bma||=k||\bma||
  3. （三角不等式）||\bmx+\bmy||≤||\bmx||+||\bmy||

参照线性代数，我们可以继续定义两向量的夹角和距离……

新 集 合

区间 -> 球

在 RR 上我们用区间，在 RnR^n 上我们用“球”。

定义以 a\bm{a} 为球心，以 rr 为半径的 开球：

Br(a)={x∈Rn∣∣∣x∣∣<r}B_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace

顺便，定义以 a\bm{a} 为球心，以 rr 为半径的 闭球：

B‾r(a)={x∈Rn∣∣∣x∣∣<r}\overline{B}_r(a) = \lbrace x \in R^n | ||x|| < r\rbrace

集合的有界性

令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃M∈E,∀x∈E\exist M \in E, \forall \bm{x} \in E 则 ∣∣x∣∣<M||\bm{x}|| \lt M。

或者，令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃M∈E\exist M \in E 则 ∣∣x∣∣<M||\bm{x}|| \lt M。

或者，令 E⊂RnE \subset R^n，则若 ∃r∈E\exist r \in E 则 x∈Br(0)\bm{x} \in B_r(0)。

（三条等价）

（人话：这一堆点在同一个开球里面）

集合的有界性

（不是有界就是无界）

点列

定义

点列是从数列搬过来的概念。（略）

同样，我们可以照搬点列收敛：

lim ⁡k→+∞ ak=b  ⟺  ∀ϵ∈R+,∃K∈N,st.,∀k>K,∣∣ ak∣∣<ϵ\lim_{k \to +\infty} \bm{a_k} = \bm{b} \iff \forall \epsilon \in R^+, \exists K \in N, st., \forall k > K, ||\bm{a_k}|| < \epsilon

这个收敛叫按范数收敛，其等价于按分量收敛，也就是一个向量的各分量收敛。

基本列

未完待续

你好世界！

你好世界

这是我的第一篇博客文章哎~（尽管以前的都叫我删了😂）

使用 Hexo 建一个博客网站不难。

那么怎么建一个 Hexo 网站呢？

  1. 安装工具
  2. 执行命令写文章
  3. 发布！

安装工具

您需要安装 git，node，hexo-cli。

分别下载安装就好。在 Windows 上，git-for-windows 是一个好选择。node 从官网下载即可，记得去网上查教程把 npm 的源换了。然后 Shift+右键->Powershell（其实我用的 CMD）……

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
C:\laofang>npm install -g hexo-cli

added 59 packages in 15s

C:\laofang>hexo init myblog

......

INFO Start Blogging with Hexo! 

C:\laofang>cd myblog
C:\laofang\myblog>npm install

changed 17 packages in 11s

20 packages are looking for funding
  run `npm fund` for details

Hexo 在这过程中会试图连接 Github，但是没连上也不要紧。

写文章呢？

1
C:\laofang>hexo new "你好世界！"

然后你会在相应的文件夹里面，能找到 C:\laofang\myblog\source\_posts\你好世界！.md ，然后打开这个文件，尽心编辑，并把本文全部内容粘贴到编辑器内。

… 未完待续 …